Nuttige wenke

Kruising van lyne

Pin
Send
Share
Send
Send


wikiHow werk volgens die beginsel van 'n wiki, wat beteken dat baie van ons artikels deur verskillende outeurs geskryf is. Met die opstel van hierdie artikel het 13 mense (a) aan die redigering en verbetering daarvan gewerk, insluitend anoniem.

Die aantal bronne wat in hierdie artikel gebruik word: 6. U kan 'n lys daarvan onderaan die bladsy vind.

In tweedimensionele ruimte kruis twee lyne mekaar op slegs een punt wat deur die koördinate (x, y) gedefinieer is. Aangesien beide lyne deur die kruispunt beweeg, moet die koördinate (x, y) beide vergelykings bevredig wat hierdie lyne beskryf. Met behulp van 'n paar ekstra vaardighede, kan u die snypunte van parabolas en ander kwadratiese krommes vind.

Die kruispunt van twee lyne op die vliegtuig

As die stelsel van vergelykings:

  • dit het enigste oplossingdan lyne kruis mekaar,
  • dit het eindelose oplossingsdan lyne pas,
  • het geen besluite niedan reguit lyne kruis nie (reguit lyne is ewewydig aan mekaar)

oplossing: Om die koördinate van die snypunt van lyne te bereken, los ons die stelsel vergelykings op:

y = 2 x - 1 y = -3 x + 1

Trek die tweede van die eerste vergelyking af

y - y = 2 x - 1 - (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x - 2 y = -3 x + 1

Uit die eerste vergelyking vind ons die waarde van x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0,4 y = -3 x + 1

Vervang die waarde van x in die tweede vergelyking en vind die waarde van y

x = 0,4 y = -3 · (0,4) + 1 = -1,2 + 1 = -0,2

Die antwoord. Die snypunt van twee lyne het koördinate (0.4, -0.2)

oplossing: Om die koördinate van die snypunt van lyne te bereken, los ons die stelsel vergelykings op:

y = 2 x - 1 x = 2 t + 1 y = t

In die eerste vergelyking vervang ons die waardes van x en y uit die tweede en derde vergelykings.

t = 2 · (2 ​​t + 1) - 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = - 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Vervang die waarde van t in die tweede en derde vergelyking

t = - 1 3 x = 2 · (- 1 3) + 1 = - 2 3 + 1 = 1 3 y = - 1 3

Die antwoord. Die snypunt van twee lyne het koördinate (1 3, - 1 3)

oplossing: Om die koördinate van die snypunt van lyne te bereken, los ons die stelsel vergelykings op:

2 x + 3 y = 0 x - 2 3 = y 4

Uit die tweede vergelyking, druk ons ​​y uit in terme van x

2 x + 3 y = 0 y = 4 x - 2 3

Vervang y in die eerste vergelyking

2 x + 3 · 4 · x - 2 3 = 0 y = 4 · x - 2 3 => 2 x + 4 · (x - 2) = 0 y = 4 · x - 2 3 =>

2 x + 4 x - 8 = 0 y = 4 · x - 2 3 => 6 x = 8 y = 4 · x - 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4 · x - 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4 · 4/3 - 2 3 = 4 · -2/3 3 = - 8 9

Die antwoord. Die snypunt van twee lyne het koördinate (4 3, - 8 9)

oplossing: Albei lyne word gegee deur vergelykings met 'n hoekkoëffisiënt. Aangesien k 1 = k 2 = 2, dan is die lyne ewewydig. Aangesien hierdie lyne nie saamval nie, is daar geen kruispunte nie.

Ons sal hierdie probleem ook oplos met behulp van die stelsel vergelykings:

y = 2 x - 1 y = 2 x + 1

Trek die tweede van die eerste vergelyking af

y - y = 2 x - 1 - (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

In die eerste vergelyking het ons 'n teenstrydigheid (0 ≠ -2) gekry, wat beteken dat die stelsel geen oplossings het nie - daar is geen snypunte van lyne nie (lyne is ewewydig).

Die antwoord. Lyne sny mekaar nie (lyne is ewewydig).

oplossing: Ons vervang die koördinate van punt N in die vergelyking van lyne.

Die antwoord. Aangesien beide vergelykings in identiteite verander het, is die punt N die snypunt van hierdie lyne.

Die kruispunt van twee lyne in die ruimte

As die stelsel van vergelykings:

  • het 'n unieke oplossing, dan kruis die lyne mekaar,
  • het 'n oneindige aantal oplossings, dan val die lyne saam,
  • het geen oplossings nie, dan kruis die lyne mekaar nie (die lyne is parallel of kruis mekaar)

oplossing: Ons stel 'n stelsel vergelykings saam

x - 1 = ay - 1 = az - 1 = ax - 3 -2 = b 2 - y = bz = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x - 3 -2 = b 2 - y = bz = b =>

Ons vervang die waardes van x, y, z van 1, 2, 3 vergelykings in 4, 5, 6 vergelykings

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 - 3 -2 = b 2 - (a + 1) = ba + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = ba + 1 = b

Voeg die vyfde vergelyking by die sesde vergelyking

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = ba + 1 + (1 - a) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = bb = 1

Ons vervang die waarde van b in die vierde en vyfde vergelykings

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = 1 1 - a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Die antwoord. Die lyne sny mekaar by die punt met koördinate (1, 1, 1).

oplossing: Ons stel 'n stelsel vergelykings saam deur die parameter t deur a in die tweede vergelyking te vervang

x = 2 t - 3 y = t z = - t + 2 x = a + 1 y = 3 a - 2 z = 3

Ons vervang die waardes van x, y, z van 1, 2, 3 vergelykings in 4, 5, 6 vergelykings

x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t - 3 = a + 1 t = 3 a - 2 - t + 2 = 3 => x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a - 2 t = -1 =>

Ons vervang die waarde van t vanaf die sesde vergelyking in die oorblywende vergelykings

x = 2 · (-1) - 3 y = (-1) z = - (- 1) + 2 2 · (-1) = a + 4 -1 = 3 a - 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Die antwoord. Sedert -6 ≠ 1 3 sny die lyne mekaar nie.

Die snypunt van lyne in die ruimte - teorie, voorbeelde en oplossings

  • inhoud
  • 1. Die snypunt van lyne wat in kanonieke vorm gegee word.
  • 2. Die snypunt van lyne gedefinieer in 'n parametriese vorm.
  • 3. Die snypunt van lyne wat in verskillende vorms gegee word.
  • 4. Voorbeelde van die vind van die snypunt van lyne in die ruimte.

1. Die snypunt van lyne in die ruimte wat in kanonieke vorm gedefinieer word.

Laat 'n Cartesiese reghoekige koördinaatstelsel gegee word Oxyz en laat reguit lyne in hierdie koördinaatstelsel gegee word L1 en L2:

,(1)
,(2)

Vind die snypunt van lyne L1 en L2 (Fig. 1).

Ons skryf vergelyking (1) in die vorm van 'n stelsel van twee lineêre vergelykings:

,(3)
(4)

Kom ons vermenigvuldig in vergelykings (3) en (4):

p1(xx1)=m1(yy1)
l1(yy1)=p1(zz1)

Maak die hakies oop en vertaal die veranderlikes aan die linkerkant van die vergelykings en die oorblywende elemente aan die regterkant:

p1xm1y=p1x1m1y1,(5)
l1yp1z=l1y1p1z1.(6)

Net so transformeer ons vergelyking (2):

Ons skryf vergelyking (2) in die vorm van 'n stelsel van twee lineêre vergelykings:

,(7)
(8)

Kom ons vermenigvuldig in vergelykings (7) en (8):

p2(xx2)=m2(yy2)
l2(yy2)=p2(zz2)

Maak die hakies oop en vertaal die veranderlikes aan die linkerkant van die vergelykings en die oorblywende elemente aan die regterkant:

p2xm2y=p2x2m2y2,(9)
l2yp2z=l2y2p2z2.(10)

Ons los die stelsel van lineêre vergelykings (5), (6), (9), (10) met drie onbekendes op x, y, z. Stel u hierdie stelsel in matriksvorm voor:

(11)

Hoe om die stelsel van lineêre vergelykings (11) (of (5), (6), (9), (10) op te los, sien die aanlyn Gauss-metode bladsy. As die stelsel van lineêre vergelykings (11) onversoenbaar is, dan is die lyne L1 en L2 kruis nie. As stelsel (11) baie oplossings het, dan is die lyne L1 en L2 ooreenstem. Die enigste oplossing vir die stelsel van lineêre vergelykings (11) dui aan dat hierdie oplossing die koördinate van die snypunt van lyne bepaal L1 en L2 .

2. Die snypunt van reguit lyne in die ruimte wat in 'n parametriese vorm gedefinieër is.

Laat 'n Cartesiese reghoekige koördinaatstelsel gegee word Oxyz en laat reguit lyne in hierdie koördinaatstelsel gegee word L1 en L2 in parametriese vorm:

(12)
(13)

Die probleem om die snypunt van lyne te vind L1 en L2 kan op verskillende maniere opgelos word.

Metode 1. Ons gee die vergelykings van lyne L1 en L2 na die kanonieke vorm.

Om vergelyking (12) op kanonieke vorm te bring, druk ons ​​die parameter uit t deur die res van die veranderlikes:

(14)

Aangesien die linkerkant van vergelykings (14) gelyk is, kan ons skryf:

(15)

Net so gee ons die vergelyking van die lyn L2 tot kanonieke vorm:

(16)

Gebruik dan paragraaf 1 om die snypunt van die lyne in kanonieke vorm te vind.

Metode 2. Om die snypunt van lyne te vind L1 en L2 vergelykings (12) en (13) gesamentlik op te los. Uit vergelykings (12) en (13) volg dit:

(17)
(18)
(19)

Uit elke vergelyking (17), (18), (19) vind ons die veranderlike t. Verder van die verkreë waardes t ons kies dié wat aan alle vergelykings voldoen (17) - (19). As so 'n waarde t bestaan ​​nie, dan kruis die lyne mekaar nie. As daar meer as een sodanige waarde is, val die lyne saam. As so 'n waarde t die enigste ding wat hierdie opvatting vervang t in (12) of in (13), kry ons die koördinate van die snypunt van lyne (12) en (13).

4. Voorbeelde van die vind van die snypunt van lyne in die ruimte.

Voorbeeld 1. Vind die snypunt van lyne L1 en L2:

(20)
(21)

Ons stel vergelyking (20) voor in die vorm van twee vergelykings:

(22)
(23)

Ons sal vermenigvuldig in vergelykings (22) en (23):

Maak die hakies oop en vertaal die veranderlikes aan die linkerkant van die vergelykings en die oorblywende elemente aan die regterkant:

Ons sal dieselfde doen met vergelyking (2).

Ons stel vergelyking (2) voor in die vorm van twee vergelykings:

(26)
(27)

Kruis vermenigvuldig in vergelykings (7) en (8)

Maak die hakies oop en vertaal die veranderlikes aan die linkerkant van die vergelykings en die oorblywende elemente aan die regterkant:

Ons los die stelsel van lineêre vergelykings (24), (25), (28), (29) met drie onbekendes op x, y, z. Om dit te kan doen, stel ons hierdie stelsel voor in die vorm van 'n matriksvergelyking:

(30)

Ons los die stelsel van lineêre vergelykings (30) op met betrekking tot x, y, z. Om die stelsel op te los, konstrueer ons 'n uitgebreide matriks:

Benoem deur 'nij die elemente iste ry en jste kolom.

Eerste fase. Die direkte loop van Gauss.

Sluit die elemente van die 1ste kolom van die matriks onder die element uit 'n1 1. Om dit te doen, voeg reël 3 by lyn 1 keer −1:

Sluit die elemente van die 2de kolom van die matriks onder die element uit 'n22. Om dit te doen, voeg reël 4 2 keer by lyn −1/4:

Ons doen 'n permutasie van reël 3 en 4.

Tweede fase. Gauss keer terug.

Sluit die elemente van die derde kolom van die matriks bo die element uit 'n33. Om dit te doen, voeg reël 2 by reël 3 keer −4/3:

Sluit die elemente van die 2de kolom van die matriks bo die element uit 'n22. Om dit te doen, voeg reël 1 by reël 2 keer 3/4 by:

Deel elke ry van die matriks deur die ooreenstemmende voorste element (as die voorste element bestaan):

Die antwoord. Lynkruispunt L1 en L2 het die volgende koördinate:

Voorbeeld 2. Vind die snypunt van lyne L1 en L2:

(31)
(32)

Ons gee die parametriese vergelyking van die lyn L1 na die kanonieke vorm. Ons gee die parameter t uit in terme van die oorblywende veranderlikes:

Uit die bogenoemde gelykhede verkry ons die kanonieke vergelyking van die lyn:

(33)

Ons stel vergelyking (33) voor in die vorm van twee vergelykings:

(34)
(35)

Ons doen kruisvermenigvuldiging in vergelykings (34 en (35):

Maak die hakies oop en vertaal die veranderlikes aan die linkerkant van die vergelykings en die oorblywende elemente aan die regterkant:

(36)
.(37)

Ons sal dieselfde doen met vergelyking (2).

Ons stel vergelyking (2) voor in die vorm van twee vergelykings:

(38)
(39)

Kruis vermenigvuldig in vergelykings (38) en (39)

Maak die hakies oop en vertaal die veranderlikes aan die linkerkant van die vergelykings en die oorblywende elemente aan die regterkant:

Ons los die stelsel van lineêre vergelykings (36), (37), (40), (41) met drie onbekendes op x, y, z. Om dit te kan doen, stel ons hierdie stelsel voor in die vorm van 'n matriksvergelyking:

(42)

Ons los die stelsel van lineêre vergelykings (42) op met betrekking tot x, y, z. Om die stelsel op te los, konstrueer ons 'n uitgebreide matriks:

Benoem deur 'nij die elemente iste ry en jste kolom.

Eerste fase. Die direkte gang van Gauss.

Sluit die elemente van die 1ste kolom van die matriks onder die element uit 'n1 1. Om dit te doen, voeg reël 3 by reël 1 keer −1/6:

Sluit die elemente van die 2de kolom van die matriks onder die element uit 'n22. Om dit te doen, voeg reël 3 en 4 by met lyn 2 keer 8/21 en −1/7, onderskeidelik:

Sluit die elemente van die derde kolom van die matriks onder die element uit'n33. Om dit te doen, voeg reël 4 by reël 3 keer -1/16:

Van die uitgebreide matriks rekonstrueer ons die laaste stelsel van lineêre vergelykings:

(43)

Vergelyking (43) is onversoenbaar omdat getalle nie bestaan ​​nie x, y, z bevredigende vergelyking (43). Die stelsel van lineêre vergelykings (42) het dus geen oplossing nie. Dan reguit L1 en L2 kruis nie. Dit wil sê dat hulle óf parallel óf gekruis is.

reguit L1 het 'n rigtingsvektor q1= <2,6,7>, en die lyn L2 het 'n rigtingsvektor q2= <3,1,1>. Hierdie vektore is nie van lyn af nie. Vandaar direk L1 en L2 gekruis word.

Kyk na die video: LYNNE'S STORY 2 From Abortion to Arizona (Julie 2021).

Pin
Send
Share
Send
Send