Nuttige wenke

'N Bietjie inligting oor die kubus en hoe om die oppervlak van die kubus te bereken

Pin
Send
Share
Send
Send


Stelling van die probleem: Die oppervlakte van die kubus is S. Vind die volume daarvan.

Die taak is deel van die eksamen in basiese wiskunde vir graad 11 onder nommer 13 (probleme in stereometrie).

Oorweeg hoe sulke probleme deur voorbeeld opgelos word, en verkry 'n algemene oplossing.

Die oppervlak van die kubus is 24. Vind die volume daarvan.

Die oppervlak van die kubus is gelyk aan die som van die oppervlaktes van al sy vlakke. 'N Kubus het 6 identiese vlakke. As ons 1 kant vir a neem, dan is die oppervlak van die kubus gelyk aan:

Uit die resulterende gelykheid vind ons die sy van die kubus:

Die volume van die kubus moet nog gevind word. Om dit te kan doen, moet u die sy in 'n kubus lig:

Oor die algemeen is die oplossing vir hierdie probleem in stereometrie soos volg:

a = √ S / 6 - sy van die kubus

V = a 3 = (√ S / 6) 3

waar S die oppervlakte van die kubus is.

Dit bly slegs om spesifieke waardes te vervang en die resultaat te bereken.

Deel die artikel met klasmaats "Gegee die oppervlak van die kubus, vind die volume daarvan - hoe om op te los».

Is daar 'n ander oplossing?

Stel 'n ander manier voor om die probleem op te los. "Gegee die oppervlak van die kubus, vind die volume daarvan". Miskien sal dit vir iemand meer verstaanbaar wees:

Wat is die gebied?

Hierdie waarde word gewoonlik aangedui met die Latynse letter S. Boonop geld dit vir skoolvakke, soos fisika en wiskunde. Dit word gemeet in vierkante eenhede van lengte. Dit hang alles af van die gegewens in die hoeveelheidsprobleem. Dit kan vierkante mm, cm, m of km wees. Daar kan ook gevalle wees waar eenhede nie eens aangedui word nie. Ons praat eenvoudig oor die numeriese uitdrukking van die gebied sonder 'n naam.

So, wat is die gebied? Dit is 'n waarde wat 'n numeriese eienskap is van die betrokke figuur of liggaam. Sy wys die grootte van haar oppervlak, wat deur die sye van die figuur beperk word.

Watter vorm word 'n kubus genoem?

Hierdie figuur is 'n veelvlak. En nie maklik nie. Hy is korrek, dit wil sê, hy het al die elemente is gelyk aan mekaar. Of dit nou kante of gesigte is. Elke kubusoppervlak is 'n vierkant.

'N Ander naam vir die kubus is die gewone seshedron, indien in Russies, dan die seshoek. Dit kan gevorm word uit 'n vierhoekige prisma of parallelepipeer. Onder die voorwaarde dat alle rande gelyk is en die hoeke 90 grade vorm.

Hierdie figuur is so harmonieus dat dit gereeld in die alledaagse lewe gebruik word. Die eerste babaspeelgoed is byvoorbeeld kubusse. En plesier vir diegene wat ouer is, is Rubik's Cube.

Hoe hou die kubus verband met ander figure en liggame?

As ons 'n gedeelte van 'n kubus teken wat deur sy drie vlakke gaan, sal dit soos 'n driehoek lyk. As u van bo af beweeg, sal die gedeelte groter wees. Daar kom 'n tyd dat 4 gesigte reeds mekaar sal kruis, en die figuur in dwarssnit 'n vierhoek sal word. As u 'n snit deur die middel van die kubus trek sodat dit loodreg op sy hoofdiagonale staan, kry u 'n gewone seshoek.

Binne die kubus kan u 'n tetraëder (driehoekige piramide) teken. Een van sy hoeke word bo-aan die tetraëder geneem. Die oorblywende drie sal saamval met die hoekpunte wat aan die teenoorgestelde ente van die rande van die geselekteerde hoek van die kubus lê.

Daar kan 'n oktaëder ('n konvekse reëlmatige veelvlak wat soos twee gekoppelde piramides lyk) binnegegaan word. Om dit te doen, vind die middelpunte van al die gesigte van die kubus. Dit sal die hoekpunte van die oktaëder wees.

Die omgekeerde werking is ook moontlik, dit wil sê, dit is moontlik om 'n kubus binne-in die oktaëder te betree. Slegs nou sal die middelpunte van die gesigte van die eerste die hoekpunte word vir die tweede.

Metode 1: bereken die oppervlakte van 'n kubus aan die rand daarvan

Om die totale oppervlakte van 'n kubus te bereken, is kennis van een van sy elemente nodig. Die maklikste manier om op te los wanneer die rand daarvan bekend is, met ander woorde, die sy van die vierkant waarvan dit bestaan. Hierdie waarde word gewoonlik aangedui met die Latynse letter "a".

Ons moet nou die formule waarmee die vierkant bereken word, onthou. Om nie verwar te word nie, word die aanwysing daarvan deur die letter S bekendgestel1.

Vir gemak is dit beter om getalle in te stel vir alle formules. Dit sal die eerste wees.

Maar dit is slegs een vierkant. Daar is ses van hulle: 4 aan die sykante en 2 onder en bo. Dan word die oppervlak van die kubus bereken deur die volgende formule: S = 6 * a 2. Haar nommer is 2.

Metode 2: hoe om oppervlakte te bereken as liggaamsvolume bekend is

Met hierdie metode word die lengte van die rib oor 'n bekende volume getel. En gebruik dan die bekende formule wat hier aangedui word deur die nommer 2.

Uit die wiskundige uitdrukking vir die volume van die heksahedron word daar afgelei waaruit die lengte van die rib bereken kan word. Hier is dit:

Die nommering gaan voort, en die nommer 3 is reeds hier.

Nou kan dit bereken word en in die tweede formule vervang word. As ons optree volgens die norme van wiskunde, moet ons die volgende uitdrukking aflei:

Dit is die formule vir die oppervlakte van die hele oppervlak van die kubus, wat gebruik kan word as die volume bekend is. Die nommer van hierdie inskrywing is 4.

Metode 3: bereken die oppervlakte langs die hoeklyn van 'n kubus

Om die oppervlakte van die volle oppervlak van die kubus te bereken, is dit ook nodig om 'n rand deur die bekende diagonaal te trek. Hier gebruik ons ​​die formule vir die hoofdiagonaal van die heksahedron:

Dit is maklik om 'n uitdrukking daarvoor te kry:

Dit is die sesde formule. Nadat u dit bereken het, kan u weer die formule onder die tweede nommer gebruik. Maar dit is beter om dit te skryf:

Dit blyk genommer te wees. 7. As u noukeurig kyk, sal u sien dat die laaste formule geriefliker is as 'n fase berekening.

Metode 4: hoe om die radius van die ingeskrewe of omringde sirkel te gebruik om die oppervlakte van die kubus te bereken

As ons die radius van die sirkel beskryf wat naby die heksahedron met die letter R beskryf word, word die oppervlak van die kubus maklik bereken deur die volgende formule:

Die reeksnommer is 8. Dit is maklik verkrygbaar omdat die deursnee van die sirkel heeltemal saamval met die hoofdiagonaal.

As ons die radius van die ingeskrewe sirkel met die Latynse letter r aandui, kan ons die volgende formule verkry vir die oppervlakte van die hele oppervlak van die heksahedron:

'N Paar woorde oor die syvlak van die heksahedron

As die probleem die oppervlakte van die syvlak van die kubus moet vind, moet u die tegniek wat hierbo beskryf is, gebruik. As die rand van die liggaam reeds gegee is, moet die vierkantige oppervlakte met 4 vermenigvuldig word. Hierdie figuur verskyn as gevolg van die feit dat die kubus slegs 4 syvlakke het. Die wiskundige aantekening vir hierdie uitdrukking is soos volg:

Die getal is 10. As daar enige ander hoeveelhede gegee word, gaan dit ooreen met die bogenoemde metodes.

Voorbeelde van take

Toestand een. Die oppervlak van die kubus is bekend. Dit is 200 cm². Dit is nodig om die hoofdiagonaal van die kubus te bereken.

1 manier. U moet die formule gebruik wat aangedui word met die nommer 2. Hieruit kan u maklik 'a' aflei. Hierdie wiskundige notasie sal soos die vierkantswortel van die kwosiënt lyk, gelyk aan S met 6. Nadat die getalle vervang is, blyk dit:

a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (cm).

Met die vyfde formule kan u die hoofdiagonaal van die kubus onmiddellik bereken. Om dit te kan doen, moet u die waarde van die rand met √3 vermenigvuldig. Dit is eenvoudig. Die antwoord blyk dat die hoeklyn 10 cm is.

2 manier. As u die formule vir die diagonaal vergeet, maar ek onthou die Stelling van die Pythagorees.

Vind die rand soos in die eerste metode. Dan moet ons die stelling vir die skuinssy twee keer skryf: die eerste vir die driehoek op die gesig, die tweede vir die een wat die gewenste diagonaal bevat.

x² = a² + a², waar x die hoeklyn van die vierkant is.

d² = x² + a² = a² + a² + a² = 3 a². Vanuit hierdie inskrywing is dit maklik om te sien hoe die formule vir die diagonaal verkry word. En dan is al die berekeninge soos in die eerste metode. Dit is 'n bietjie langer, maar kan u nie die formule memoriseer nie, maar dit self kry.

Antwoord: die hoeklyn van die kubus is 10 cm.

Die tweede voorwaarde. Bereken die volume van die kubus vanaf die bekende oppervlakte, gelyk aan 54 cm 2.

Deur die formule onder die tweede nommer te gebruik, moet u die waarde van die rand van die kubus bepaal. Hoe dit gedoen word, word breedvoerig beskryf in die eerste metode om die vorige probleem op te los. Na al die berekeninge, kry ons dat a = 3 cm.

Nou moet u die formule gebruik vir die volume van die kubus, waarin die lengte van die rib tot in die derde graad opgelig word. Die volume word dus as volg beskou: V = 3 3 = 27 cm 3.

Antwoord: die volume van die kubus is 27 cm 3.

Die derde voorwaarde. Dit is nodig om die rand van die kubus te vind waaraan die volgende voorwaarde is. As die rib met 9 eenhede verhoog word, neem die hele oppervlakte toe met 594.

Aangesien daar geen eksplisiete getalle in die probleem is nie, is daar slegs 'n verskil tussen wat gebeur en wat geword het, en moet ons addisionele notasies inbring. Dit is nie moeilik nie. Laat die gewenste waarde gelyk wees aan "a". Dan is die vergrote rand van die kubus gelyk aan (a + 9).

As u dit weet, moet u die formule vir die oppervlak van die kubus twee keer neerskryf. Die eerste - vir die beginwaarde van die rand - sal saamval met die nommer deur die nommer 2. Die tweede sal effens anders wees. Daarin moet u die som (a + 9) in plaas van 'a' skryf. Aangesien die probleem oor die verskil in oppervlakte gaan, moet u die kleiner van die groter gebied aftrek:

6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 = 594.

Die transformasie moet uitgevoer word. Eerstens, hak 6 aan die linkerkant van die gelykheid, en vereenvoudig dan wat in hakies oorbly. Naamlik (a + 9) 2 - a 2. Hier word die verskil van die vierkante geskryf wat soos volg getransformeer kan word: (a + 9 - a) (a + 9 + a). Nadat ons die uitdrukking vereenvoudig het, kry ons 9 (2a + 9).

Dit moet nou met 6 vermenigvuldig word, dit wil sê die getal wat voor die hakie was, en gelykgestel word aan 594: 54 (2a + 9) = 594. Dit is 'n lineêre vergelyking met een onbekende. Dit is maklik om op te los. U moet eers die hakies oopmaak en dan die term met 'n onbekende waarde aan die linkerkant van die gelykheid oordra, en die syfers na die regterkant. Die volgende vergelyking word verkry: 2a = 2. Daaruit kan gesien word dat die gewenste waarde 1 is.

Pin
Send
Share
Send
Send